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나는 공돌이다

편미분 개념 문제

Suppose that



Then by the chain rule,


.


Thus



and 



which means w is independent of z. What is wrong with this argument?


("Basic Multivariable Calculus," J. E. Marsden, A. J. Tromba, A. Weinstein, ISBN 0-7167-2443-x, p.145)




솔루션엔 참 간단한 말로 끝낸다. "앞의 ∂w/∂x랑 뒤의 ∂w/∂x랑 다름요." 원래 솔루션이 그렇게 친절하진 않다.


쉽게 예를 들어 설명해보자. z = f(x,y)인데, yxdependent하다고 해보자. 즉,



이제 zx로 미분해보자.



여기까진 문제가 없다. yxindependent다면 뒤 항은 없어지면서 그냥 의미없는 수식이 됐겠지만 yx의 함수인 바람에 뒤 항이 저렇게 들러붙었다. 궁금한 건 앞 항인데, 중요한건 앞 항은 yx에 대한 dependency를 모르고 쓴 식이라는 점이다. 즉, yx의 함수이건 아니건 앞 항은 항상 있다. yx에 대한 dependency 여부에 따라서 뒤 항이 결정되고, 그게 원래 구하고자 했던 ∂z/∂x를 결정하게 된다.

이쯤에서도 아리까리하다면 이해가 되지 않는다면 좀 더 구체적인 예를 들어보자. (확인사살)




이제 감이 오는가! 뒤의 ∂z/∂xy의 dependency에 상관없이 오는 항이므로 계산 결과 2xy가 된다. 그런데 yx의 함수이다보니 뒤 항이 지저분하게 살아남아서 결과적으로 앞의 ∂z/∂x가 저렇게 표현됨을 의미한다. 그래서 원래 문제에서도 앞의 ∂w/∂x와 뒤의 ∂w/∂x가 다르다고 하는 것이다.


끗.




덧.


2장에 나온 문제였는데, 풀 당시에는 반만 이해한 느낌이랄까... 암튼 뭔가 꺼림직해서 적어뒀었다. 6~7장 쯤 가다가 다시 돌아와서 보니 그제야 무슨 말인지 이해가 가더군.

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