필요조건, 충분조건, 필요충분조건

필요조건(necessary condition)과 충분조건(sufficient condition)

용어가 헷갈릴 수 있기에 한번 정리해본다.

왜 '필요'나 '충분'이라는 단어가 붙었는지도 볼 겸.

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필요조건

A는 B가 참이기 위한 필요조건이다.

= B가 참이기 위해 우선 A가 참이고 봐야 한다.

= B가 참이기 위해 A가 참이라는 조건을 먼저 필요로 한다.

= A가 거짓이면 B는 자동으로 거짓이 된다.

= A가 참이라도 B는 거짓일 수 있다.

= B가 참인 집합은 A가 참인 집합의 부분집합이다.

예. 

내가 포유류인 것은 내가 인간이기 위한 필요조건이다.

= 내가 인간이기 위해서는 우선 포유류이어야 한다.

= 내가 인간이기 위해서는 포유류라는 조건을 필요로 한다.

= 내가 포유류가 아니라면 자동으로 인간이 아니게 된다.

= 내가 포유류가 맞더라도 인간이 아닐 수 있다.

= 인간의 집합은 포유류의 집합의 부분집합이다.

충분조건

A는 B가 참이기 위한 충분조건이다.

= A가 참일 경우 자동으로 B가 참이 된다.

= A가 참인 것만 확인하면 B가 참이라고 말할 수 있다.

= A가 참이라는 조건만으로도 B가 참이기에 충분하다.

= A가 거짓이라도 B는 여전히 참일 수 있다.

= A가 참인 집합은 B가 참인 집합의 부분집합이다.

예.

내가 인간인 것은 내가 포유류이기 위한 충분조건이다.

= 내가 인간이라면 자동으로 나는 포유류다.

= 내가 인간인 것만 확인하면 나는 포유류라고 말할 수 있다.

= 내가 인간이라는 조건만으로도 포유류이기에 충분하다.

= 내가 인간이 아니더라도 포유류일 수 있다.

= 인간의 집합은 포유류의 집합의 부분집합이다.

뭐... 간단히(?) 말하자면,

A->B일 때, 

A는 B를 만족하기 위한 충분조건 (A만 만족하면 B를 만족하기에 충분)

B는 A를 만족하기 위한 필요조건 (A를 만족하려면 우선 B의 만족이 필요함)

다시 예.

내가 인간이라면 나는 포유류이다.

인간임은 포유류이기 위한 충분조건 (인간이기만 하면 포유류이기에 충분)

포유류임은 인간이기 위한 필요조건 (인간이려면 우선 포유류인 것이 필요함)

그럼 필요충분조건은?

A->B이면서 동시에 B->A일 때이다.

즉, A과 B가 완전히 같을 때 (동치일 때) A는 B를 만족하기 위한 필요충분조건이라고 한다. ("B는 A를~"라고도 한다.)

영어로는 if and only if, 줄여서 iff라고 한다. A if B는 B->A를, A only if B는 A->B를 말한다. 왜냐고? B일 때만 A를 만족한다는 건 다시 말해 B가 아니면 A도 아니라는 뜻이다. 대우명제를 생각해보면 금방 떠오른다.

(참고한 곳)

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필요조건이든 충분조건이든... 이게 왜 필요하냐고?

그야 수학의 '언어'이니까.

영어를 알아야 미국인과 대화할 수 있듯, 수학의 언어를 알아야 수학과(?) 대화할 수 있음.

정확하게는 수학자와 대화, 또는 수학책과 대화한다고 해야겠지만.

즉, 이 내용을 이해하고 나면 "f(x)가 monotonic함은 f(x)가 Riemann integrable하기 위한 충분조건이다." 같은 문장이 나왔을 때 바로 이해할 수 있다는 뜻이지.