[번역] 수소 원자에서 원주율이 튀어나오다!

(원문)

수소 원자에서 원주율이 튀어나오다! - 양자역학 계산 도중 예기치 못한 수가 나왔다.

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원주율, 누구든 이 수를 몇 자리까지 외울 수 있는지 테스트해봤을 것이다. 그 중 한 사람으로, 나는 다섯 자리까지밖에 외우지 못했다. 2015년 기준으로 원주율은 13조 3천억 자리까지 계산되어 있다. 도대체 왜 이 수를 13조 자리까지 알아야 할까? 사실을 말해주자면, 그래야 할 이유는 없다. 그저 인간의 호기심과 극한에 대한 갈망으로 얻은 결과일 뿐이다.

원주율은 참 신기한 수다. 끝도 없고 반복되는 패턴도 없다. 그런데 더 신기한 일이 일어났다. 로체스터(Rochester) 대학의 물리학자 타마르 프리드만(Tamar Friedmann)과 칼 헤이건(Carl Hagan)이 수소 원자의 물성을 연구하던 중 원주율을 표현하는 수식이 튀어나왔다. 우주에서 가장 심플한 원소인 수소 말이다.

원주율은 원의 둘레 길이와 지름의 비율이다. 무리수이며 정수의 비율 형태로 표현할 수 없다. 그리고 초월수이다. 즉, 0이 아닌 유리수 계수 다항식의 근이 될 수 없다. 

1655년, 영국 수학자 존 월리스(John Wallis)가 이 유명한 수식을 유도하기가 쉽지는 않았다. 존은 원의 면적, 이 원을 구속하는 사각형 면적의 비율을 이용하여 원주율을 무한곱 형태로 나타내고자 했다. 몇 장의 계산 결과 이런 수식을 얻었다.

원주율을 표현하는 더 간단한 수식이 이후에 발견되긴 했지만, 당시만 해도 수학적으로 충격적인 사건이었다.

놀라운 것은, 1655년에 발견된 이 수식이 최근 수소원자의 에너지 준위에 대한 양자역학적 계산 도중에 나왔다는 점이다. 원자의 에너지 준위는 감마함수로 표현되는데, 감마함수 중 하나의 값으로 원주율이 나왔다. “월리스 수식을 찾으려고 하던게 아니었습니다. 그냥 보물이 갑툭튀한 거예요.”라고 칼 헤이건은 말했다.

이들이 한 계산은 ‘변분법’이라 불리는 테크닉으로, 수소의 각 오비탈이 갖는 에너지 준위의 상한치를 계산하고 있었다. 계산한 상한치를 각 오비탈의 실제 에너지 값과 비교한 결과, 높은 에너지의 궤도일수록 계산 상한치와 실제 에너지 값이 비슷해짐을 발견했다. 이상한 점은, 수소와 달리 다른 원자에서는 에너지가 낮을수록 계산과 실제 값이 잘 맞았다는 것이다. “에너지가 낮은 궤도에서는 전자의 움직임을 예측하기 어렵습니다. 에너지가 높은 상태일 때 궤도가 더 명확히 정해지고 반경의 불확도가 낮아져요.”라고 칼 헤이건은 전했다.

놀라운 발견이기는 하지만, 이것이 양자역학의 이해에 비약적인 발전이 되진 않을 것 같다. 그래도 프리드만은 양자역학과 월리스 수식이 서로 관련되어 있음을 밝혔다는 사실에 기뻐하고 있다. 

번역: 게으른 둔재

+ ‘양자역학(적) 계산’이란 말이 맞는지 모르겠다.

+ 원주율의 값이 “계산”되어 있다는 표현이 맞을까? 관점에 따라 맞을 수도 아닐 수도 있는 건가?